Родился в селе Пуйко, ныне на территории Ямальского района Ямало-Ненецкого автономного округа. После окончания школы учился в Тюменском аэроклубе и Омской школе пилотов. В 1942 году подал заявление с просьбой отправить на фронт. Был зачислен в запасной авиаполк, где совершенствовал своё мастерство военного лётчика до 1943 года.
С октября 1943 по май 1945 года воевал на Первом и Четвертом Украинских фронтах в 227 эскадрилье штурмовой авиации 208 штурмового орденов Суворова и Кутузова авиационного полка. Совершил 152 успешных боевых вылета. Сбил 5 самолётов противника (3 самолёта лично и 2 в группе), уничтожил 24 танка, 54 автомашины с воинами и грузами, 6 бронетранспортёров, 17 артиллерийских и миномётных точек, 25 железнодорожных вагонов, 17 повозок, 17 тягачей, до 500 солдат и офицеров. Подавил 39 зенитно-артиллерийских и пулемётных гнёзд противника.
В декабре 1943 года при выполнении боевого задания сбил фашистский истребитель МЕ-109. Был сам подбит, но сохранил самолёт и спас жизнь своему экипажу. За личное мужество и героизм Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15.05.1946 года Звягину Александру Евстафьевичу присвоено звание Героя Советского Союза. Боевой путь закончил участием в Пражской стратегической операции 6–11 мая 1945 года.
После войны Александр Евстафьевич Звягин жил и работал в Херсоне на судоверфи. В Тобольске его память увековечена мемориальной доской на здании школы. В Салехарде, на площади Победы, весной 2002 года установили памятную плиту в честь Героя.